Question

【题目】某校在高二年级实行选课走班教学，学校为学生提供了多种课程，其中数学科提供5种不同层次的课程，分别称为数学1、数学2、数学3、数学4、数学5，每个学生只能从这5种数学课程中选择一种学习，该校高二年级1800名学生的数学选课人数统计如表：

课程	数学1	数学2	数学3	数学4	数学5	合计
选课人数	180	540	540	360	180	1800

为了了解数学成绩与学生选课情况之间的关系，用分层抽样的方法从这1800名学生中抽取了10人进行分析．
（1）从选出的10名学生中随机抽取3人，求这3人中至少有2人选择数学2的概率；
（2）从选出的10名学生中随机抽取3人，记这3人中选择数学2的人数为X，选择数学1的人数为Y，设随机变量ξ=X﹣Y，求随机变量ξ的分布列和数学期望E（ξ）．

Answer 1

【答案】
（1）解：从选出的10名学生中选修数学1的人应为10× =1人，选修数学2的人应为10× =3人，选修数学3的人应为10× =3人，选修数学4的人应为10× =1人，选修数学1的人应为10× =1人．

从选出的10名学生中随机抽取3人共有 =120种选法，选出的这3人中至少有2人选择数学2的有 + =22种

，∴这3人中至少有2人选择数学2的概率P= =

（2）解：X的可能取值为0，1，2，3．Y的可能取值为0，1．ξ的可能取值为﹣1，0，1，2，3．

P（ξ=﹣1）=P（X=0，Y=1）= = ．

P（ξ=0）=P（X=0，Y=0）+P（X=1，Y=1）= = ．

P（ξ=1）=P（X=1，Y=0）+P（X=2，Y=1）= = ．

P（ξ=2）=P（X=2，Y=0）= = ．

P（ξ=3）=P（X=3，Y=0）= = ．ξ的分布列为：

ξ	﹣1	0	1	2	3
P

∴Eξ=﹣1× +0× +1× +2× +3× =

【解析】（1）从选出的10名学生中选修数学1的人应为10× =1人，同理可得选修数学2的人应为3人，选修数学3的人应为3人，选修数学4的人应为1人，选修数学1的人应为1人．从选出的10名学生中随机抽取3人共有 =120种选法，选出的这3人中至少有2人选择数学2的有 + =22种，即可得出这3人中至少有2人选择数学2的概率P．（2）X的可能取值为0，1，2，3．Y的可能取值为0，1．ξ的可能取值为﹣1，0，1，2，3．P（ξ=﹣1）=P（X=0，Y=1）= ，P（ξ=0）=P（X=0，Y=0）+P（X=1，Y=1）= ．P（ξ=1）=P（X=1，Y=0）+P（X=2，Y=1）= ．P（ξ=2）=P（X=2，Y=0）= ．P（ξ=3）=P（X=3，Y=0）= ．即可得出ξ的分布列及其Eξ．