题目内容

记（b_n）_i=i+ $数学公式$ +log2 $数学公式$ ，其中i，n∈N^，i≤n，如（b_n）₃=3+ $数学公式$ +log2 $数学公式$ ，令S_n=（b_n）₁+（b_n）₂+（b_n）₃+…+（b_n）_n．
（I）求（b_n）₁+（b_n）_n的值；　
（Ⅱ）求S_n的表达式；
（Ⅲ）已知数列{a_n}满足S_n•a_n=1，设数列{a_n}的前n项和为T_n，若对一切n∈N^，不等式 $数学公式$ 恒成立，求实数λ的最大值．

解：（I）∵（b_n）_i=i+ $\text{[math]}$ +log2 $\text{[math]}$ ，
∴（b_n）₁+（b_n）_n=（1+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）+（n+ $\text{[math]}$ ）
=n+2+ $\text{[math]}$
=n+2．
（Ⅱ）∵S_n=（b_n）₁+（b_n）₂+（b_n）₃+…+（b_n）_n，
S_n=（b_n）_n+（b_n）_n-1+…+（b_n）₂+（b_n）₁，
∴2S_n=（b_n）₁+（b_n）_n+（b_n）₂+（b_n）_n-1+（b_n）₃+（b_n）_n-2+…+（b_n）_n+（b_n）₁
=n（n+2），
∴ $\text{[math]}$ ．
（Ⅲ）∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ，
当 $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ 恒成立．
∴ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 恒成立，
∴11λ-3n²≤-11（2n+3）恒成立，
∴ $\text{[math]}$ 恒成立，
∴ $\text{[math]}$ ，
而 $\text{[math]}$ ，n∈N^*．
∴n=4时， $\text{[math]}$ 取得最小值 $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ ，实数λ的最大值为 $\text{[math]}$ ．
分析：（I）由（b_n）_i=i+ $\text{[math]}$ +log2 $\text{[math]}$ ，知（b_n）₁+（b_n）_n=（1+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）+（n+ $\text{[math]}$ ），由此能求出（b_n）₁+（b_n）_n=n+2．
（Ⅱ）由S_n=（b_n）₁+（b_n）₂+（b_n）₃+…+（b_n）_n，知S_n=（b_n）_n+（b_n）_n-1+…+（b_n）₂+（b_n）₁，从而得到2S_n=（b_n）₁+（b_n）_n+（b_n）₂+（b_n）_n-1+（b_n）₃+（b_n）_n-2+…+（b_n）_n+（b_n）₁=n（n+2），由此能求出S_n的表达式．
（Ⅲ）由 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，知 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，故 $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ 恒成立，从而得到 $\text{[math]}$ ，由此能求出实数λ的最大值．
点评：本题考查数列与不等式的综合应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点，易错点是 $\text{[math]}$ 的推导．解题时要认真审题，仔细解答．