题目内容
已知某数列的前三项分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且前三项中任何两个数不在下表的同一列．| 第一列 | 第二列 | 第三列 | |
| 第一行 | 3 | 2 | 10 |
| 第二行 | 14 | 4 | 6 |
| 第三行 | 18 | 9 | 8 |
（I）求数列{an}和数列{bn}的通项公式；
（II）将数列{an}的项和数列{bn}的项依次从小到大排列得到数列{cn}，数列{cn}的前n项和为Sn，试求最大的自然数M，使得当n≤M时，都有Sn≤2012．
（Ⅲ）若对任意n∈N，有an+1bn+λbnbn+1≥anbn+1成立，求实数λ的取值范围．
【答案】分析：（I）由条件得a1=3，a2=6，a3=9，b1=2，b2=6，b3=18，由此可求数列{an}和数列{bn}的通项公式；
（II）当n≥2时，bn=2•3n-1=3•（2•3n-2）=a2•3n-2，而等差数列{an}的公差d=3＞0是递增的等差数列，计算S39，S40的值，即可得到结论；
（Ⅲ）由an+1bn+λbnbn+1≥anbn+1，分离参数λ≥
-
，确定右边的最大值，即可得到结论．
解答：解：（I）由条件得a1=3，a2=6，a3=9，所以等差数列{an}的公差d=3，通项公式an=3n；
b1=2，b2=6，b3=18，等比数列{bn}的公比q=3，通项公式bn=2•3n-1，n∈N*．
（II）当n≥2时，bn=2•3n-1，而等差数列{an}的公差d=3＞0是递增的等差数列．
a35=105，a36=108；b4=54，b5=162．
∴S39=a1+a2+…+a35+b1+b2+b3+b4=1970，S40=a1+a2+…+a36+b1+b2+b3+b4=2078，
故M=39．
（Ⅲ）由an+1bn+λbnbn+1≥anbn+1可得λ≥
-
．
-
=
-
=
（n≥1，n∈N*）
而当n≥1时，
-
=-
≤0，数列{
}是递减数列，
∴当n=1时，
-
取得最大项为
．
∴λ≥
．
点评：本题考查数列的通项与数列求和问题，考查恒成立问题，确定数列的通项是关键．
（II）当n≥2时，bn=2•3n-1=3•（2•3n-2）=a2•3n-2，而等差数列{an}的公差d=3＞0是递增的等差数列，计算S39，S40的值，即可得到结论；
（Ⅲ）由an+1bn+λbnbn+1≥anbn+1，分离参数λ≥
-
，确定右边的最大值，即可得到结论．解答：解：（I）由条件得a1=3，a2=6，a3=9，所以等差数列{an}的公差d=3，通项公式an=3n；
b1=2，b2=6，b3=18，等比数列{bn}的公比q=3，通项公式bn=2•3n-1，n∈N*．
（II）当n≥2时，bn=2•3n-1，而等差数列{an}的公差d=3＞0是递增的等差数列．
a35=105，a36=108；b4=54，b5=162．
∴S39=a1+a2+…+a35+b1+b2+b3+b4=1970，S40=a1+a2+…+a36+b1+b2+b3+b4=2078，
故M=39．
（Ⅲ）由an+1bn+λbnbn+1≥anbn+1可得λ≥
-
．
-
=
-
=
（n≥1，n∈N*）而当n≥1时，
-
=-
≤0，数列{
}是递减数列，∴当n=1时，
-
取得最大项为
．∴λ≥
．点评：本题考查数列的通项与数列求和问题，考查恒成立问题，确定数列的通项是关键．
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