Question

（本题满分13）

已知函数，其中是自然常数，其近似值为2.71828,

⑴当时,求函数极值；

⑵求证：在（1）的条件下，；

⑶是否存在实数，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

解：（1），       …………………… 1分

   ∴当x∈(0，1)时，，此时单调递减；

当x∈(1，e)时，，此时单调递增。       …………………… 3分  

∴的极小值为                             …………………… 4分

（2）的极小值为1，即在上的最小值为1，

∴ ，                          

令，，       ……………………… 5分

当时，，在上单调递增 

∴       ……………………… 7分

∴在（1）的条件下，                ……………………… 8分

（3）假设存在实数，使（）有最小值3， 

① 当时，在上单调递减，，（舍去），所以，此时无最小值.                              ……………………… 9分

②当时，在上单调递减，在上单调递增

，，满足条件.        ……………………… 11分

③ 当时，在上单调递减，，（舍去），所以，此时无最小值.

综上，存在实数，使得当时有最小值3   …………13分