Question

9．曲线y=xsinx在点（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）处切线与x轴及直线x=π所围成三角形面积为$\frac{1}{2}{π}^{2}$．

Answer 1

分析 欲切线与坐标轴所围成的三角形的面积，只须求出切线在坐标轴上的截距即可，故先利用导数求出在x=-$\frac{π}{2}$处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．最后求出切线的方程，从而问题解决．

解答 解：求导数可得y′=sinx+xcosx，
∴x=-$\frac{π}{2}$时，f′（-$\frac{π}{2}$）=-1
∴曲线f（x）=xsinx在x=-$\frac{π}{2}$处的切线方程为y-$\frac{π}{2}$=-（x+$\frac{π}{2}$），即x+y=0
当x=0时，y=0．即切线与坐标轴的交点为（0，0），
∴切线与x轴，直线x=1所围成的三角形面积为：S=$\frac{1}{2}$×π×π=$\frac{1}{2}{π}^{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}{π}^{2}$．

点评 本小题主要考查直线的方程、三角形的面积、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．