Question

20．已知正项数列{a_n}对任意的n∈N^*，都有a₁³+a₂³+…+a_n³=（a₁+a₂+…+a_n）²
（1）求a₁，a₂的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n．

Answer 1

分析 （1）直接代入a₁³+a₂³+…+a_n³=（a₁+a₂+…+a_n）²计算即可；
（2）通过a₁³+a₂³+…+a_n³=（a₁+a₂+…+a_n）²与a₁³+a₂³+…+a_n³+a_n+1³=（a₁+a₂+…+a_n+a_n+1）²作差、整理可知a_n+1²=2（a₁+a₂+…+a_n）+a_n+1，将上述等式与a_n²=2（a₁+a₂++a_n-1）+a_n（n≥2）作差、整理可知数列{a_n}是首项为1、公差为1的等差数列，计算即得结论．

解答 解：（1）依题意，a₁³=a₁²，
解得：a₁=1或a₁=0（舍）；
又∵a₁³+a₂³=（a₁+a₂）²，即1+a₂³=（1+a₂）²，
∴1+a₂³=1+2a₂+a₂²，
解得：a₂=2或a₂=-1（舍）；
∴a₁、a₂的值分别为1、2；
（2）∵a₁³+a₂³+…+a_n³=（a₁+a₂+…+a_n）²，①
∴a₁³+a₂³+…+a_n³+a_n+1³=（a₁+a₂+…+a_n+a_n+1）²．②
②-①，得a_n+1³=（a₁+a₂+…+a_n+a_n+1）²-（a₁+a₂+…+a_n）²，
整理得：a_n+1³=[2（a₁+a₂+…+a_n）+a_n+1）]a_n+1，
又∵a_n＞0，
∴a_n+1²=2（a₁+a₂+…+a_n）+a_n+1．③
同样有a_n²=2（a₁+a₂++a_n-1）+a_n（n≥2），④
③-④，得a_n+1²-a_n²=a_n+1+a_n．
∴a_n+1-a_n=1．
由于a₂-a₁=1，即当n≥1时都有a_n+1-a_n=1，
∴数列{a_n}是首项为1、公差为1的等差数列，
故数列{a_n}的通项公式a_n=n．

点评 本题考查数列的通项，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．