Question

如图是某直三棱柱（侧棱与底面垂直）被削去一部分后的直观图与三视图中的侧(左)视图、俯视图，侧(左)视图是底边长分别为2和4的直角梯形，俯视图是直角边长为2的等腰直角三角形．

（Ⅰ）求出该几何体的体积；

（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面BCD；

（Ⅲ）求直线CE与平面BDE的夹角正弦值．

 

Answer 1

．解：（Ⅰ）由a₁＝2，得a₂＝a－a₁＋1＝3，由a₂＝3，得a₃＝a－2a₂＋1＝4，………… 3分

由a₃＝4，得a₄＝a－3a₃＋1＝5.由此猜想a_n的一个通项公式为：a_n＝n＋1(n∈N^*)．… 6分

（Ⅱ）证明：①当n＝1时，a₁=2，猜想成立．………………………………………… 7分

②假设当n＝k（k∈N^*且k≥1）时猜想成立，即a_k=k＋1，

那么当n＝k＋1时，a_k＋1＝a_k(a_k－k)＋1=(k＋1)(k＋1－k)＋1＝k＋2，……………… 11分

也就是说，当n＝k＋1时，a_k＋1=(k＋1)＋1. 猜想成立

根据①和②，对于所有n∈N^*，都有a_n=n＋1. ………………………………… 12分