Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求证：；

（2）讨论函数零点的个数.

Answer 1

【答案】（1）见证明；（2）见解析

【解析】

(1),对函数求导，研究函数的单调性，求函数最小值，证得函数的最小值大于0；（2）对函数求导，研究函数的单调性，得到函数的最值和极值，进而得到参数的范围.

证明：当时，.

令则

当时，；当时，，时，

所以在上单调递减，在单调递增，

所以是的极小值点，也是最小值点，

即

故当时，成立，

，由得.

当时，；当时，，

所以在上单调减，在单调增，

所以是函数得极小值点，也是最小值点，

即

当，即时，没有零点，

当，即时，只有一个零点，

当，即时，因为所以在上只有一个零点；

由，得，令，则得，所以，于是在在上有一个零点；

因此，当时，有两个零点.

综上，时，没有零点；

时，只有一个零点；

时，有两个零点.