题目内容
【题目】已知抛物线
，焦点为
，准线为
，线段
的中点为
.点
是
上在
轴上方的一点，且点到的距离等于它到原点
的距离.
（1）求点的坐标；
（2）过点
作一条斜率为正数的直线
与抛物线从左向右依次交于
两点，求证：
.
【答案】（1）
；（2）详见解析.
【解析】
（1）由点
到
的距离等于它到原点
的距离，得
，又
为线段
的中点，所以
，设点的坐标为
，代入抛物线的方程，解得
，即可得到点坐标.
（2）设直线
的方程为
，代入抛物线的方程，根据根与系数的关系，求得
，
，进而得到
，进而得到直线
和
的倾斜角互补，即可作出证明.
（1）根据抛物线的定义，点到的距离等于
，
因为点到的距离等于它到原点的距离，所以，
从而
为等腰三角形，
又为线段的中点，所以，
设点的坐标为，代入
，解得，
故点的坐标为.
（2）设直线的方程为，代入，并整理得
，
由直线与抛物线
交于
、
两点，得
，
结合
，解得
，
由韦达定理，得，，
，
所以直线和的倾斜角互补，从而
，
结合
轴，得
，故
.
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