Question

已知函数是定义在R上的偶函数，对于任意都成立；当，且时，都有．给出下列四个命题：①；②直线是函数图象的一条对称轴；③函数在上为增函数；④函数在上有335个零点．

其中正确命题的个数为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

 

Answer 1

B

【解析】

试题分析：①：对于任意x∈R，都有f（x+6）=f （x）+f （3）成立，令x=-3，则f（-3+6）=f（-3）+f （3），即f（-3）=0，又因为f（x）是R上的偶函数，所以f（3）=0，即①正确；

②：由（1）知f（x+6）=f （x），所以f（x）的周期为6，又因为f（x）是R上的偶函数，所以f（x+6）=f（-x），而f（x）的周期为6，所以f（x+6）=f（-6+x），f（-x）=f（-x-6），

所以：f（-6-x）=f（-6+x），所以直线x=-6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴，即②正确；

③：当x1，x2∈[0，3]，且x1≠x2时，都有，所以函数y=f（x）在[0，3]上为增函数，

因为f（x）是R上的偶函数，所以函数y=f（x）在[-3，0]上为减函数而f（x）的周期为6，所以函数y=f（x）在[-9，-6]上为减函数，故③错误；④：f（3）=0，f（x）的周期为6，函数y=f（x）在[0，3]上为增函数，在[3，6]上为减函数，所以：y=f（x）在[0，6]上只有一个零点3，而2014=335×6+3，所以，函数y=f（x）在[0，2014]上有335+1=336个零点，故④错误．故正确命题的个数为2个，故选：B．

考点：命题的真假判断与应用．