Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k
（1）若直线PA平分线段MN，求k的值；
（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；
（3）对任意k＞0，求证：PA⊥PB．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题设写出点M，N的坐标，求出线段MN中点坐标，根据线PA过原点和斜率公式，即可求出k的值；
（2）写出直线PA的方程，代入椭圆，求出点P，A的坐标，求出直线AB的方程，根据点到直线的距离公式，即可求得点P到直线AB的距离d；
（3）要证PA⊥PB，只需证直线PB与直线PA的斜率之积为-1，根据题意求出它们的斜率，即证的结果．
解答：解：（1）由题设知，a=2，b=，
故M（-2，0），N（0，-），所以线段MN中点坐标为（-1，-）．
由于直线PA平分线段MN，故直线PA过线段MN的中点，又直线PA过原点，
所以k=．
（2）直线PA的方程为y=2x，代入椭圆方程得，解得x=±，
因此P（，），A（-，-）
于是C（，0），直线AC的斜率为1，故直线AB的方程为x-y-=0．
因此，d=．
（3）设P（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁＞0，x₂＞0，x₁≠x₂，
A（-x₁，-y₁），C（x₁，0）．
设直线PB，AB的斜率分别为k₁，k₂．
因为C在直线AB上，所以k₂=，
从而kk₁+1=2k₁k₂+1=2•=
==．
因此kk₁=-1，所以PA⊥PB．
点评：此题是个难题．考查椭圆的标准方程和简单的几何性质，以及直线斜率的求法，以及直线与椭圆的位置关系，体现了方程的思想和数形结合思想，同时也考查了学生观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．