Question

【题目】如图，梯形中，，过分别作，，垂足分别，，已知，将梯形沿同侧折起，得空间几何体 ，如图．

1若，证明：平面；

2若，，线段上存在一点，满足与平面所成角的正弦值为，求的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2） .

【解析】

1由正方形的性质推导出，结合，可得平面，由此，再由，能证明平面；2过作交于点，以为坐标原点，以分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，设，可得，利用向量垂直数量积为零求出平面的法向量，利用空间向量夹角余弦公式能求出结果．

1由已知得四边形ABFE是正方形，且边长为2，在图2中，，

由已知得，，平面

又平面BDE，，

又，，平面

2在图2中，，，，即面DEFC，

在梯形DEFC中，过点D作交CF于点M，连接CE，

由题意得，，由勾股定理可得，则，，

过E作交DC于点G，可知GE，EA，EF两两垂直，

以E为坐标原点，以分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，

则，

．

设平面ACD的一个法向量为，

由得,取得，

设，则m，，，得

设CP与平面ACD所成的角为，

．

所以