Question

【题目】如图，正四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD的边长为4，PD=4，E为PA的中点，

（1）求证：平面EBD⊥平面PAC；
（2）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：设AC，BD交点为O，连结PO．则O为正方形ABCD的中心，

∴PO⊥平面ABCD．∵BD平面ABCD，

∴PO⊥BD．

∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC．

又AC平面PAC，PO平面PAC，AC∩PO=O，

∴BD⊥平面PAC，又BD平面EBD，

∴平面EBD⊥平面PAC．

（2）解：以O为原点，以OA，OB，OP为坐标轴建立空间直角坐标系，

∵正四棱锥的棱长为4，∴OA=OB=OD=2 ，OP= =2 ．

∴A（2 ，0，0），B（0，2 ，0），P（0，0，2 ），∴E（ ，0， ）．

∴ =（ ，﹣2 ， ）．

显然x轴⊥平面PBD．∴ =（1，0，0）是平面PBD的一个法向量，

∴ = ，| |=1，| |=2 ．

∴cos＜ ＞= = ．

∴直线BE与平面PBD所成角的正弦值为 ．

【解析】（1）设AC，BD交点为O，连结PO，则PO⊥平面ABCD，于是PO⊥BD，又BD⊥AC，故而BD⊥平面PAC，于是平面EBD⊥平面PAC；（2）以O为原点，以OA，OB，OP为坐标轴建立空间直角坐标系，则 =（1，0，0）为平面PBD的一个法向量，求出cos＜ ， ＞，则|cos＜ ， ＞|即为所求．
【考点精析】解答此题的关键在于理解平面与平面垂直的判定的相关知识，掌握一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直，以及对空间角的异面直线所成的角的理解，了解已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则．