Question

【题目】已知长方形， ， .以的中点为原点建立如图所示的平面直角坐标系.

（1）求以、为焦点，且过、两点的椭圆的标准方程；

（2）过点的直线交（1）中椭圆于、两点，是否存在直线，使得弦为直径的圆恰好过原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) 存在过的直线： 使得以弦为直径的圆恰好过原点.

【解析】试题分析：（1）椭圆的标准方程是；（2）设直线： ，联立方程： ，得到韦达定理，以为直径的圆恰好过原点，则，所以，代入韦达定理即可解出答案。

试题解析：

（1）由题意可得点， ， 的坐标分别为， ，

设椭圆的标准方程是（）

则 ，∴

∴

∴椭圆的标准方程是

（2）由题意直线的斜率存在，可设直线的方程为（）

设， 两点的坐标分别为， ，联立方程：

消去整理得， 有，

若以为直径的圆恰好过原点，则，所以

所以，即

所以， 即

得，

所以直线的方程为，或

所以存在过的直线： 使得以弦为直径的圆恰好过原点。