Question

已知函数f（x）都任意的a、b∈R都有f（a+b）=f（a）+f（b）-1，且x＞0时，f（x）＞1．
（1）判定f（x）在R上的单调性；
（2）若f（4）=5，解不等式f（3m²-m-2）＜3．

Answer 1

解：（1）任取x₁＜x₂，可得x₂-x₁＞0．
∵x＞0时，f（x）＞1，∴f（x₂-x₁）＞1．
因此，f（x₂）=f[x₁+（x₂-x₁）]=f（x₁）+f（x₂-x₁）-1＞f（x₁），
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）是R上的增函数．
（2）∵f（4）=f（2）+f（2）-1=5，∴f（2）=3．
因此，f（3m²-m-2）＜3=f（2）．
又由（1）的结论知，f（x）是R上的增函数，
∴3m²-m-2＜2，化简得3m²-m-4＜0，解之得-1＜m＜
所以不等式f（3m²-m-2）＜3的解集为（-1，）
分析：（1）任取x₁＜x₂，得x₂-x₁＞0．由当x＞0时f（x）＞1，得到f（x₂-x₁）＞1，再对f（x₂）按照题中对应法则变形，化简得到f（x₁）＜f（x₂），可得f（x）是R上的增函数．
（2）由f（4）=f（2）+f（2）-1算出得f（2）=3，因此将f（3m²-m-2）＜3转化为f（3m²-m-2）＜f（2），由（1）中的单调性结论，解关于x的一元二次不等式，即可得到所求不等式的解集．
点评：本题给出抽象函数，证明函数的单调性并求关于x的不等式的解集，着重考查了函数的单调性、一元二次不等式的解法和抽象函数的理解等知识点，属于中档题．