Question

已知函数f（x）=-3x²+ax+b，若a，b都是在区间[0，4]内任取一个数，则f（1）＞0概率为

23

32

．

Answer 1

分析：将事件“f（1）＞0”化简得不等式a+b-3＞0．根据题意，a，b都是在区间[0，4]内任取的一个数，得到所有的点M（a，b）所在的区域是由a=0，a=4，b=0，b=4四条直线围成的正方形，而符合题意的点N所在的区域是正方形内，且在直线a+b-3=0的上方，最后用符合题意的图形面积除以整个正方形的面积，即可得到所求概率．

解答：解：∵函数f（x）=-3x²+ax+b，
∴f（1）=-3+a+b，f（1）＞0即-3+a+b＞0，也就是a+b-3＞0．
∵a，b都是在区间[0，4]内任取一个数，
∴0≤a≤4，0≤b≤4，可得点M（a，b）所在的区域是由a=0，a=4，b=0，b=4四条直线围成的正方形．
设满足f（1）＞0的点为N，则N所在的区域是正方形内，且在直线a+b-3=0的上方，如图，即五边形ABCDE的内部
∵正方形面积为S=4×4=16，
五边形ABCDE的面积为S₁=S_正方形-S_△OBC=16-

1

2

×3×3=

23

2

∴事件“f（1）＞0”的概率为：P=

S1

S

=

23 2

16

=

23

32

故答案为：

23

32

点评：本题以一个函数值为正值的概率求法为例，着重考查了用不等式组表示平面区域和几何概率的求法等知识点，属于基础题．