Question

两圆相交于A、B，过A作两直线分别交两圆于C、D和E、F.若∠EAB=∠DAB.求证：CD=EF.

Answer 1

思路分析：要证CD=EF，只需证明△CBD≌△EBF即可.从图2-2-4可以看出，∠C=∠E，∠D=∠F，因此，只需再找一条对应边相等即可.比如，能否推出BC=BE呢？要证BC=BE，只需∠CEB=∠ECB.有无可能呢？可以发现，∠ECB=∠1，又已知∠1=∠2，所以，只需证∠2=∠CEB即可.这时我们发现，A、B、E、C是圆内接四边形，根据性质定理，它的外角∠2与它的内对角∠CEB当然相等.至此，思路完全沟通.

图2-2-4

证明：∵ABEC为圆内接四边形，∴∠2=∠CEB.

又∵∠1=∠ECB，且∠1=∠2，∴∠CEB=∠ECB.∴BC=BE.

在△CBD与△EBF中，∠C=∠E，∠D=∠F，BC=BE，

∴△CBD≌△EBF.∴CD=EF.

    深化升华 利用圆内接四边形的性质，直接写出∠2=∠CEB，简化了通过弧与角的计算推证∠2=∠CEB的过程，正如运用算术乘法的九九表一样，可以大大简化思维的过程.