Question

函数f（x）=

.

2 1 -x 1 x

.

，x∈[1，2]的值域为

 

．

Answer 1

分析：先将原函数可化为：f（x）=x+

2

x

，利用基本不等式得出当x＞0时，函数的最小值，又f（x）=x+

2

x

在（1，

2

）是减函数，在（

2

，2）是增函数，函数的最大值从而求得函数的值域．

解答：解：原函数可化为：
f（x）=x+

2

x

当x＞0时，x+

2

x

≥2

x• 2 x

=2

2

当且仅当x=

2

时取“=”号
函数f（x）=

.

2 1 -x 1 x

.

，x∈[1，2]的最小值为：2

2

，
又f（x）=x+

2

x

在（1，

2

）是减函数，在（

2

，2）是增函数，
且f（1）=3，f（2）=3，
函数f（x）=

.

2 1 -x 1 x

.

，x∈[1，2]的最大值为：3，
∴函数f（x）=

.

2 1 -x 1 x

.

，x∈[1，2]的值域为[2

2

，3]
故答案为：[2

2

，3]．

点评：本题通过构造形式用基本不等式及函数的单调性求函数的值域，训练学生答题的观察、化归的能力．解答的关键是对常见函数f（x）=x+

2

x

最值及单调性的研究．