Question

已知函数f(x)=sin2x+

3

sinxcosx+2cos2x，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）若x∈[

π

2

， π]，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（I）利用二倍角公式与两角和的正弦函数，化简f(x)=sin2x+

3

sinxcosx+2cos2x，x∈R为一个角的一个三角函数的形式，利用周期公式与正弦函数的单调增区间求出函数的周期与单调增区间．
（Ⅱ）通过x∈[

π

2

， π]，求出2x+

π

6

的范围，然后求出函数的值域即可．

解答：解：（I）f(x)=

1-cos2x

2

+

3

2

sin2x+(1+cos2x)
=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x+

3

2

=sin(2x+

π

6

)+

3

2

．（3分）
∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．（4分）
由题意得2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
即　kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z．
∴f（x）的单调增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z．（7分）
（Ⅱ）若x∈[

π

2

， π]，则2x+

π

6

∈[

7π

6

， 

13π

6

]，
sin(2x+

π

6

)∈[-1，

1

2

]，
∴f(x)∈[

1

2

，2]．         （12分）

点评：本题考查二倍角公式以及两角和的正弦函数的应用，三角函数的值域与单调性的求法，考查计算能力．