Question

如图，已知正三棱柱ABC－A₁B₁C₁的底面边长是2，D是侧棱CC₁的中点，直线AD与侧面BB₁C₁C所成的角为45°．

(Ⅰ)求此正三棱柱的侧棱长；

(Ⅱ)求二面角A－BD－C的大小；

(Ⅲ)求点C到平面ABD的距离．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)设正三棱柱－的侧棱长为．取中点，连． 　　是正三角形，． 　　又底面侧面，且交线为． 　　侧面． 　　连，则直线与侧面所成的角为．……………2分 　　在中，，解得．…………3分 　　此正三棱柱的侧棱长为．……………………4分 　　注：也可用向量法求侧棱长． 　　(Ⅱ)解法1：过作于，连， 　　侧面． 　　为二面角的平面角．……………………………6分 　　在中，，又 　　，． 　　又 　　在中，．…………………………8分 　　故二面角的大小为．…………………………9分 　　解法2：(向量法，见后) 　　(Ⅲ)解法1：由(Ⅱ)可知，平面，平面平面，且交线为，过作于，则平面．…………10分 　　在中，．…………12分 　　为中点，点到平面的距离为．…………13分 　　解法2：(思路)取中点，连和，由，易得平面平面，且交线为．过点作于，则的长为点到平面的距离． 　　解法3：(思路)等体积变换：由可求． 　　解法4：(向量法，见后) 　　题(Ⅱ)、(Ⅲ)的向量解法： 　　(Ⅱ)解法2：如图，建立空间直角坐标系． 　　则． 　　设为平面的法向量． 　　由得． 　　取…………6分 　　又平面的一个法向量…………7分 　　．…………8分 　　结合图形可知，二面角的大小为．…………9分 　　(Ⅲ)解法4：由(Ⅱ)解法2，…………10分 　　点到平面的距离＝．13分