Question

1．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且椭圆C₁的短轴长为2．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）设A（0，$\frac{1}{16}$），N为抛物线C₂：y=x²上一动点，过点N作抛物线C₂的切线交椭圆C₁于B，C两点，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由题意的离心率公式求得a²=4b²，由b=1，求得a的值，求得椭圆C₁的方程；
（2）设曲线C：y=x²上的点N（t，t²），由导数几何意义求出直线BC的方程为y=2tx-t²，代入椭圆方程，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式及二次函数的最值，即可求出△ABC面积的最大值．

解答 解：（1）∵椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴e-$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴a²=4b²，
椭圆C₁的短轴长为2，即2b=2，b=1，a²=4，
∴椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）设曲线C：y=x²上的点N（t，t²），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
∵y′=2x，∴直线BC的方程为y-t²=2t（x-t），即y=2tx-t²，①
将①代入椭圆方程$\left\{\begin{array}{l}{y=2tx-{t}^{2}}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得（1+16t²）x²-16t³x+4t⁴-4=0，
则△=（16t³）²-4（1+16t²）（4t⁴-4）=16（-t⁴+16t²+1），
且x₁+x₂=$\frac{16{t}^{3}}{1+16{t}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{t}^{4}-4}{1+16{t}^{2}}$，
∴|BC|=$\sqrt{1+4{t}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{1+4{t}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{4\sqrt{1+4{t}^{2}}•\sqrt{-{t}^{4}+16{t}^{2}+1}}{1+16{t}^{2}}$，
设点A到直线BC的距离为d，则d=$\frac{1+16{t}^{2}}{16\sqrt{1+4{t}^{2}}}$，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$|BC|d=$\frac{1}{2}$•$\frac{4\sqrt{1+4{t}^{2}}•\sqrt{-{t}^{4}+16{t}^{2}+1}}{1+16{t}^{2}}$•$\frac{1+16{t}^{2}}{16\sqrt{1+4{t}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{-（{t}^{2}-8）^{2}+65}}{8}$≤$\frac{\sqrt{65}}{8}$，
当t=±2$\sqrt{2}$时，取到“=”，此时△＞0，满足题意，
∴△ABC面积的最大值为$\frac{\sqrt{65}}{8}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、弦长公式的合理运用，属于中档题．