Question

定义x₁，x₂，…，x_n的“倒平均数”为

n

x1+x2+…+xn

（n∈N^*）．
（1）若数列{a_n}前n项的“倒平均数”为

1

2n+4

，求{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}满足：当n为奇数时，b_n=1，当n为偶数时，b_n=2．若T_n为{b_n}前n项的倒平均数，求

lim

n→∞

Tn；
（3）设函数f（x）=-x²+4x，对（1）中的数列{a_n}，是否存在实数λ，使得当x≤λ时，f（x）≤

an

n+1

对任意n∈N^*恒成立？若存在，求出最大的实数λ；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）设数列{a_n}的前n项和为S_n，
由题意，Tn=

n

Sn

=

1

2n+4

，
所以Sn=2n2+4n．  …（1分）
所以a₁=S₁=6，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=4n+2，
而a₁也满足此式．…（2分）
所以{a_n}的通项公式为a_n=4n+2．…（1分）
（2）设数列{b_n}的前n项和为S_n，则当n为偶数时，Sn=

3n

2

，…（1分）
当n为奇数时，Sn=

3(n-1)

2

+1=

3n-1

2

．  …（1分）
所以Tn=

2 3 ，n为奇数 2n 3n-1 ，n为偶数

．   …（3分）
所以

lim

n→∞

Tn=

2

3

． …（2分）
（3）假设存在实数λ，使得当x≤λ时，f（x）≤

an

n+1

对任意n∈N^*恒成立，
则-x²+4x≤

4n+2

n+1

对任意n∈N^*恒成立，…（1分）
令cn=

4n+2

n+1

，因为cn+1-cn=

2

(n+1)(n+2)

＞0，
所以数列{c_n}是递增数列，…（1分）
所以只要-x²+4x≤c₁，即x²-4x+3≥0，
解得x≤1或x≥3．…（2分）
所以存在最大的实数λ=1，
使得当x≤λ时，f（x）≤

an

n+1

对任意n∈N^*恒成立．（2分）