Question

数列．
（1）求证：①a_n＜a_n+1；②1≤a_n＜2；（2）比较的大小，并加以证明．

Answer 1

【答案】分析：（1）①欲比较a_n与a_n+1的大小，利用作差比较，然后进配方可判定正负；②直接利用数学归纳法进行证明即可；
（2）由a_n+1=，从而，从而求出的值，然后利用作差比较的大小即可．
解答：解：（1）证明：①因为a_n+1-a_n=≥0，
当且仅当a_n=2时，a_n+1=a_n．
因为a₁=1，所以a_n+1-a_n＞0，即a_n＜a_n+1（n=1，2，3，…）．…（3分）
②因为，由①得a_n≥1（n∈N^*）．（i）
下面证明：对于任意n∈N^*，有a_n＜2成立．当n=1时，由a₁=1，显然结论成立．
假设结论对n=k（k≥1）时成立，即a_k＜2．
因为a_n+1=在x≥1时单调递增，
所以a_k+1＜=2．
即当n=k+1时，结论也成立．
于是，当n∈N^*时，有a_n＜2成立．（ii）
根据（i）、（ii）得1≤a_n＜2．…（9分）
（2）由a_n+1=，
从而．
因为a₁=1，所以…（11分）
所以
=．
由a₁=1及a_n+1=．
所以，当n=1时，；当n=2时，；
当n≥3时，由
⇒…（14分）
点评：本题主要考查了数列与不等式的综合，以及利用作差法比较大小，同时考查了计算能力，属于中档题．