Question

（2013•奉贤区二模）已知数列{a_n}对任意的n≥2，n∈N^*满足：a_n+1+a_n-1＜2a_n，则称{a_n}为“Z数列”．
（1）求证：任何的等差数列不可能是“Z数列”；
（2）若正数列{b_n}，数列{lgb_n}是“Z数列”，数列{b_n}是否可能是等比数列，说明理由，构造一个数列{c_n}，使得{c_n}是“Z数列”；
（3）若数列{a_n}是“Z数列”，设s，t，m∈N^*，且s＜t，求证求证a_t+m-a_s+m＜a_t-a_s．

Answer 1

分析：（1）利用等差数列的通项公式和“Z数列”的意义即可证明；
（2）利用对数的运算法则、“Z数列”的定义、等比数列的性质即可证明；由“Z数列”的意义：若a_n+1-a_n＜a_n-a_n-1，则

an+1-an

(n+1)-n

＜

an-an-1

n-(n-1)

，根据几何意义只要c_n=f（n）的一阶导函数单调递减就可以．
（3）分别计算出a_t-a_s，a_t+m-a_s+m，设b_s=a_s+1-a_s，利用数列{b_n}满足对任意的n∈N^*b_n+1＜b_n，即可证明．

解答：解：（1）设等差数列{a_n}的首项a₁，公差d，
∵a_n=a₁+（n-1）d，a_n+1+a_n-1-2a_n=a₁+nd+a₁+（n-2）d-2a₁-2（n-1）d=0，
所以任何的等差数列不可能是“Z数列”．
或者根据等差数列的性质：a_n+1+a_n-1=2a_n
所以任何的等差数列不可能是“Z数列”．
（2）∵a_n是“Z数列”，∴lga_n+1+lga_n-1＜2lga_n
∴an++1•an-1＜an2，所以{a_n}不可能是等比数列．
等比数列cn=c1•qn-1(c1＜0，q≠1)只要首项c₁＜0公比q≠1．
[其他的也可以：cn=an2+bn+c（a＜0）或cn=an4(a＜0)]
等比数列{c_n}的首项c₁，公比q，通项公式cn=c1•qn-1cn+1+cn-1-2cn=c1•qn+c1•qn-2-2c1•qn-1
=c1•qn-2(q2-2q+1)=c1•qn-2•(q-1)2＜0恒成立，∴c₁＜0．
（3）因为b_s=a_s+1-a_s，b_s+1=a_s+2-a_s+1，b_s+2=a_s+3-a_s+2，…，b_t-1=a_t-a_t-1
∴at-as=at-at-1+at-1-at-2+…+as+1-as=

bt-1+bt-2+…+bs

一共t-s+1项

同理：at+m-as+m=at+m-at+m-1+am+t-1-am+t-2+…+as+m+1-as+m=

bt+m-1+bt+m-2+…+bs+m

一共t-s+1项

因为数列{b_n}满足对任意的n∈N^*b_n+1＜b_n，
所以b_t-1＞b_t+m-1，b_t-2＞b_t+m-2，…，b_s+m＞b_s，
∴a_t-a_s＞a_t+m-a_s+m．

点评：正确理解“Z数列”的定义，数列掌握等差数列与等比数列的通项公式、对数的运算法则是解题的关键．本题需要较强的逻辑推理能力和计算能力．