题目内容

求当函数y=sin²x+acosx- $数学公式$ a- $数学公式$ 的最大值为1时a的值．

解：∵y=1-cos²x+acosx- $\text{[math]}$ a- $\text{[math]}$ =-cos²x+acosx- $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，设cosx=t，∵-1≤cosx≤1，∴-1≤t≤1．
∴y=-t²+at- $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，-1≤t≤1，函数y的对称轴为t= $\text{[math]}$ ．
（1）当 $\text{[math]}$ ＜-1，即a＜-2时，t=-1，y有最大值- $\text{[math]}$ a- $\text{[math]}$ ．
由已知条件可得- $\text{[math]}$ a- $\text{[math]}$ =1，∴a=- $\text{[math]}$ ＞-2（舍去）．
（2）当-1≤ $\text{[math]}$ ≤1时，即-2≤a≤2时，t= $\text{[math]}$ ，y有最大值 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ．
由已知条件可得 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =1，解得a=1- $\text{[math]}$ 或a=1+ $\text{[math]}$ （舍去）．
（3）当 $\text{[math]}$ ＞1，即a＞2时，则当t=1，y有最大值 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ．
由已知条件可得 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =1，∴a=5．
综上可得，a=1- $\text{[math]}$ 或a=5．
分析：先通过变形化为关于cosx的二次函数，配方后，根据函数式的特点，对a进行分类讨论．
点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，二次函数的性质应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．