题目内容
设f（x）为R上的增函数，令F（x）=f（x）-f（2013-x）
（1）证明F（x）在R上是增函数；
（2）若F（x1）+F（x2）＞0，证明x1+x2＞2013．
（1）证明F（x）在R上是增函数；
（2）若F（x1）+F（x2）＞0，证明x1+x2＞2013．
考点：抽象函数及其应用,函数单调性的判断与证明
专题：证明题,函数的性质及应用
分析：（1）用单调性的定义来证明F（x）是增函数，基本步骤是：一取值，二作差（商），三判定，四结论；
（2）由F（x1）+F（x2）＞0得F（x1）＞-F（x2）由F（x）=f（x）-f（2013-x）变形-F（x2），
得F（2013-x2），即F（x1）＞F（2013-x2），从而证出结论．
（2）由F（x1）+F（x2）＞0得F（x1）＞-F（x2）由F（x）=f（x）-f（2013-x）变形-F（x2），
得F（2013-x2），即F（x1）＞F（2013-x2），从而证出结论．
解答：
（1）证明：任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则
F（x1）-F（x2）=[f（x1）-f（2013-x1）]-[f（x2）-f（2013-x2）]
=[f（x1）-f（x2）]+[f（2013-x2）-f（2013-x1）]；
∵f（x）是实数集R上的增函数，且x1＜x2，则f（x1）-f（x2）＜0，
由x1＜x2，得-x1＞-x2，∴2013-x1＞2013-x2，
∴f（2013-x1）＞f（2013-x2），∴f（2013-x2）-f（2013-x1）＜0，
∴[f（x1）-f（x2）]+[f（2013-x2）-f（2013-x1）]＜0；
即F（x1）＜F（x2），
∴F（x）是R上的增函数．
（2）证明：∵F（x1）+F（x2）＞0，∴F（x1）＞-F（x2），
由F（x）=f（x）-f（2013-x）知，
-F（x2）=-[f（x2）-f（2013-x2）]
=f（2013-x2）-f（x2）
=f（2013-x2）-f[2013-（2013-x2）]=F（2013-x2），
∴F（x1）＞F（2013-x2）；
又F（x）是实数集R上的增函数，
∴x1＞2013-x2，即x1+x2＞2013．
F（x1）-F（x2）=[f（x1）-f（2013-x1）]-[f（x2）-f（2013-x2）]
=[f（x1）-f（x2）]+[f（2013-x2）-f（2013-x1）]；
∵f（x）是实数集R上的增函数，且x1＜x2，则f（x1）-f（x2）＜0，
由x1＜x2，得-x1＞-x2，∴2013-x1＞2013-x2，
∴f（2013-x1）＞f（2013-x2），∴f（2013-x2）-f（2013-x1）＜0，
∴[f（x1）-f（x2）]+[f（2013-x2）-f（2013-x1）]＜0；
即F（x1）＜F（x2），
∴F（x）是R上的增函数．
（2）证明：∵F（x1）+F（x2）＞0，∴F（x1）＞-F（x2），
由F（x）=f（x）-f（2013-x）知，
-F（x2）=-[f（x2）-f（2013-x2）]
=f（2013-x2）-f（x2）
=f（2013-x2）-f[2013-（2013-x2）]=F（2013-x2），
∴F（x1）＞F（2013-x2）；
又F（x）是实数集R上的增函数，
∴x1＞2013-x2，即x1+x2＞2013．
点评：本题考查了利用定义法证明函数的单调性，以及函数单调性的灵活应用，是有一定难度的题目．
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