Question

【题目】已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．

（I）求椭圆的方程；

（II）设动直线与椭圆有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点为圆心的圆，满足此圆与相交于两点（两点均不在坐标轴上），且使得直线的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（I）；（II）．

【解析】

试题分析：（I）借助题设条件建立方程组求解；（II）借助题设运用直线与椭圆的位置关系推证和探求．

试题解析：

（I）由题意得：，，

又点在椭圆上，∴，解得，，，

∴椭圆的方程为．………………5分

（II）存在符合条件的圆，且此圆的方程为．

证明如下：假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为．

当直线的斜率存在时，设的方程为．

由方程组得．

∵直线与椭圆有且仅有一个公共点，

∴，即．

由方程组得，

则．

设，则，，

设直线的斜率分别为，

∴

，将代入上式，

得．

要使得为定值，则，即，代入验证知符合题意．

∴当圆的方程为时，圆与的交点满足为定值．

当直线的斜率不存在时，由题意知的方程为．

此时，圆与的交点也满足．

综上，当圆的方程为时，

圆与的交点满足直线的斜率之积为定值．……………………12分