Question

如图，已知，且，，（G为动点）．
（1）建立适当的平面直角坐标系，写出点P的轨迹方程；
（2）若点P的轨迹上存在两个不同的点A，B，且线段AB的中垂线与EF（或EF的延长线）相交于一点C，求证：；
（3）若且点P的轨迹上存在点Q使得，求点P的轨迹的离心率e的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）以EF所在的直线为x轴，EF的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，利用向量的数量积可得==2a，从而可得点P的轨迹是以E、F为焦点，长轴长为2a的椭圆，即可求轨迹方程；
（2）设出C的坐标，确定横坐标的范围，即可证得结论；
（3）设OQ所在直线为所在直线，与椭圆方程联立，利用，即可求点P的轨迹的离心率e的取值范围．
解答：（1）解：如图，以EF所在的直线为x轴，EF的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系．（1分）
由题设2=，•=0，
∴=，而==2a，
∴点P的轨迹是以E、F为焦点，长轴长为2a的椭圆，
故点P的轨迹方程是：．（4分）
（2）证明：如图，设A（x₁，y₁），B （x₂，y₂），C （x，0），
∴x₁≠x₂，且=，即（x₁-x）²+=（x₂-x）²+．①
又A、B在轨迹上，∴，
即=，（6分）
代入①整理得：2（x₂-x₁）•x=（），（8分）
∵x₁≠x₂，∴x=．（8分）
∵-a≤x₁≤a，-a≤x₂≤a，∴-2a≤x₁+x₂≤2a．
∵x₁≠x₂，∴-2a＜x₁+x₂＜2a，
∴，即．（9分）
（3）解：由，即点M为椭圆的右顶点，由知直线OQ斜率必存在，
设OQ所在直线为所在直线为y=kx，
由，解得（其中b²=a²-c²）     （11分）
∴
由得
化简得a=（1+k²）•，（12分）
∴a²k²+b²=b²（1+k²）²
∴a²=2b²+b²k²≥2b²=2（a²-c²），
∴a²≤2c²，即
故离心率e的取值范围是[，1）（14分）
点评：本题考查轨迹方程，考查向量知识的运用，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于中档题．