Question

已知函数在处有极大值．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若过原点有三条直线与曲线相切，求的取值范围；

（Ⅲ）当时，函数的图象在抛物线的下方，求的取值范围．

 

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）通过对函数f（x）求导，根据函数在x=2处有极值，可知f'（2）=0，解得a的值．

（Ⅱ）把（1）求得的a代入函数关系式，设切点坐标，进而根据导函数可知切线斜率，则切线方程可得，整理可求得b的表达式，令g'（x）=0解得x1和x2．进而可列出函数g（x）的单调性进而可知-64＜b＜0时，方程b=g（x）有三个不同的解，结论可得．

（Ⅲ）当x∈[-2，4]时，函数y=f（x）的图象在抛物线y=1+45x-9x2的下方，进而可知x3-12x2+36x+b＜1+45x-9x2在x∈[-2，4]时恒成立，整理可得关于b的不等式，令h（x）=-x3+3x2+9x+1，对h（x）进行求导由h'（x）=0得x1和x2．分别求得h，h（-1），h（3），h（4），进而可知h（x）在[-2，4]上的最小值是，进而求得b的范围．

试题解析：（Ⅰ），

或，

当时，函数在处取得极小值，舍去；

当时，，函数在处取得极大值，符合题意，∴．（3分）

（Ⅱ），设切点为，则切线斜率为，切线方程为，

即 ，

∴．

令，则，

由得，．

函数的单调性如下：

	↗	极大值	↘	极小值	↗

 

∴当时，方程有三个不同的解，过原点有三条直线与曲线相切．（8分）

（Ⅲ）∵当时，函数的图象在抛物线的下方，∴在时恒成立，

即在时恒成立，令，则，由得，．

∵，，，，

∴在上的最小值是，．（12分）

考点：等比关系的确定；利用导数研究函数的极值．