Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，侧面PAD是正三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，E为侧棱PD的中点．
（1）求证：PB∥平面EAC；
（2）若AD=AB，试求二面角A-PC-D的正切值．

Answer 1

分析：（1）以AD的中点为坐标原点，OA为x轴，OP为z轴，设PA=AD=PD=a，AB=b，连接BD交AC于点F，求出

EF

，

PB

，证明它们共线即可；
（2）设PA=AD=PD=AB=a，分别求出平面PAC的一个法向量与平面PCD的一个法向量，先求出两个法向量的夹角，从而求出二面角的正切值．

解答：解：（1）证明：如图建立空间直角坐标系O-xyz，其中O为AD的中点．设PA=AD=PD=a，AB=b，
则P（0，0，

3

2

a），D（-

a

2

，0，0），E（-

a

4

，0，

3

4

a），B（

a

2

，b，0），
连接BD交AC于点F，则F（0，

b

2

，0）．

EF

=（

a

4

，

b

2

，-

3

4

a），

PB

=（

a

2

，b，-

3

2

a）=2

EF

，
∴

EF

∥

PB

，又EF?平面AEC，且PB?平面AEC，
∴PB∥平面EAC．
（2）设PA=AD=PD=AB=a，
则P（0，0，

3

2

a），A（

a

2

，0，0），C（-

a

2

，a，0），D（-

a

2

，0，0）．

AC

=（-a，a，0），

PC

=（-

a

2

，a，-

3

2

a），

PD

=（-

a

2

，0，-

3

2

a），
设n₁=（x₁，y₁，z₁）是平面PAC的法向量，
则

n1• AC =0 n1• PC =0

即

-ax1+ay1=0 - a 2 x1 +ay1- 3 2 az1=0

令z₁=1，解得x₁=y₁=

3

，∴n₁=（

3

，

3

，1），
设n₂=（x₂，y₂，z₂）是平面PCD的法向量，
则

n1• AC =0 n1• PD =0

即

- a 2 x2+ay2- 3 2 az2 =0 -ax2- 3 2 az2=0

令z₂=1，解得x₂=-

3

，y₂=0，∴n₂=（-

3

，0，1），
cos＜n₁，n₂＞=

n1•n2

|n1|•|n2|

=-

1

7

，
设所求二面角的平面角为α，
则cosα=

1

7

，sinα=

6

7

，tanα=

6

．

点评：本小题主要考查直线平行与平面的判定，以及利用空间向量度量二面角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．