题目内容

判断函数y= $数学公式$ 在定义域上的单调性．

解：∵y= $\text{[math]}$ ，
∴该函数的定义域为（-ω，-1]∪[1，+ω）
又∵ $\text{[math]}$ 可看作是由 $\text{[math]}$ 与u=x²-1两个函复合而成的．
且 $\text{[math]}$ 在u∈[0，+∞）上为增函数，
而u=x²-1∈（-∞，-1]上为减函数，
且u≥0在[1，+∞）上为增函数
当x∈（-∞，-1]时 $\text{[math]}$ 为减函数，
当x≥1时， $\text{[math]}$ 为增函数
分析：确定函数的定义域→判断函数y= $\text{[math]}$ 与u=x-1的单调性→复合函数的单调性．
点评：本题主要考查复合函数单调性的研究方法，要转化为基本函数解决．

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已知集合M是同时满足下列两个性质的函数f（x）的全体：
①f（x）在其定义域上是单调增函数或单调减函数；
②在f（x）的定义域内存在区间[a，b]，使得f（x）在[a，b]上的值域是[

b]．
（Ⅰ）判断函数y=-x³是否属于集合M？并说明理由．若是，请找出区间[a，b]；
（Ⅱ）若函数y=

+t∈M，求实数t的取值范围．

对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足下列条件：①f（x）在[m，n]内是单调的；②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]时，则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．
（1）判断函数y=3-

是否存在“和谐区间”，并说明理由；
（2）如果[m，n]是函数y=

(a≠0)的一个“和谐区间”，求n-m的最大值；
（3）有些函数有无数个“和谐区间”，如y=x，请你再举一类（无需证明）

（理科）函数y=x+

(a是常数，且a＞0)有如下性质：①函数是奇函数；②函数在(0，

]上是减函数，在[

，+∞)上是增函数．
（1）如果函数y=x+

（x＞0）的值域是[6，+∞），求b的值；
（2）判断函数y=x2+

（常数c＞0）在定义域内的奇偶性和单调性，并加以证明；
（3）对函数y=x+

（常数c＞0）分别作出推广，使它们是你推广的函数的特例．判断推广后的函数的单调性（只需写出结论，不要证明）．

已知函数f（x）=

，
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域和值域；
（Ⅱ）证明函数f（x）在（0，+∞）为单调递增函数；
（Ⅲ）试判断函数y=（x+1）f（x）的奇偶性，并证明．