Question

已知函数f（x）=

x-1

x

，
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域和值域；
（Ⅱ）证明函数f（x）在（0，+∞）为单调递增函数；
（Ⅲ）试判断函数y=（x+1）f（x）的奇偶性，并证明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由函数f（x）的解析式求得它的定义域，进而求得函数f（x）=1-

1

x

的值域．
（Ⅱ）设x₂＞x₁＞0，求得 f（x₁）-f（x₂）=

x1-x2

x1•x2

＜0，可得 f（x₁）＜f（x₂），可得函数f（x）在（0，+∞）为单调递增函数．
（Ⅲ）函数定义域{x|x≠0}关于原点对称，设g（x）=（x+1）f（x），根据g（-x）=-g（x），可得函数f（x）为奇函数．

解答：解：（Ⅰ）∵函数f（x）=

x-1

x

，可得它的定义域为{x|x≠0}，
故函数f（x）=1-

1

x

 的值域为{y|y≠1}．   
（Ⅱ）设x₂＞x₁＞0，∵f（x₁）-f（x₂）=

1

x2

-

1

x1

=

x1-x2

x1•x2

，
由题设可得，x₁-x₂＜0，∴x₁•x₂＞0，∴f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）在（0，+∞）为单调递增函数，
（Ⅲ）函数定义域{x|x≠0}关于原点对称，设g（x）=（x+1）f（x）=

x2-1

x

，
∵g（-x）=

(-x)2-1

-x

=-

x2-1

x

=-g（x），
∴函数f（x）为奇函数．

点评：本题主要考查求函数的定义域和值域，函数的奇偶性的判断，函数的单调性的判断和证明，属于中档题．