Question

（理科）函数y=x+

a

x

(a是常数，且a＞0)有如下性质：①函数是奇函数；②函数在(0，

a

]上是减函数，在[

a

，+∞)上是增函数．
（1）如果函数y=x+

2b

x

（x＞0）的值域是[6，+∞），求b的值；
（2）判断函数y=x2+

c

x2

（常数c＞0）在定义域内的奇偶性和单调性，并加以证明；
（3）对函数y=x+

a

x

和y=x2+

c

x2

（常数c＞0）分别作出推广，使它们是你推广的函数的特例．判断推广后的函数的单调性（只需写出结论，不要证明）．

Answer 1

分析：（1）因为2^b＞0，x＞0，所以可用均值不等式求函数的值域，求出的值域与所给值域比较，即可求出b的值．
（2）先求函数的定义域，得到定义域关于原点对称，计算f（-x），结果等于f（x），所以可判断函数y=x2+

c

x2

为偶函数．
再利用函数的单调性定义判断函数的单调性，先证明x＞0的单调性，设0＜x₁＜x₂，作差比较f（x₂）与f（x₁）的大小，得到当

4	c

≤x1＜x2时，f(x2)＞f(x1)，当0＜x1＜x2≤

4	c

，f(x2)＜f(x1)，所以函数f(x)=x2+

c

x2

在[

4	c

，+∞)上是增函数，f（x）在（0，

4	c

]为减函数，当x＜0，时，用同样的方法证明．
（3）由（1）可推广当n是奇数时，函数y=xn+

a

xn

的奇偶性和单调性，由（2）可推广当n是偶数时，函数y=xn+

a

xn

的奇偶性和单调性，注意单调区间的根指数的规律即可

解答：解：（1）∵2^b＞0，x＞0，∴

2b

x

＞0，∴y=x+

2b

x

≥2

x• 2b x

=2

2b

，当且仅当x=

2b

x

，x²=2^b时等号成立．
又∵函数的值域是[6，+∞），即y≥6，∴2

2b

=6，解得，b=long₂9．
（2）设f(x)=x2+

c

x2

，因为x∈(-∞，0)∪(0，+∞)，
f(-x)=(-x)2+

c

(-x)2

=x2+

c

x2

=f(x)，
∴函数f(x)=x2+

c

x2

为偶函数．
设0＜x1＜x2，f(x2)-f(x1)=

x

2 2

+

c

x 2 2

-

x

2 1

-

c

x 2 1

=(

x

2 2

-

x

2 1

)(1-

c

x 2 1 x 2 2

)=(

x

1

-

x

2

)(x1+x2)

(x12x22-c )

x 2 1 x 2 2

．
当

4	c

≤x1＜x2时，f(x2)＞f(x1)，
∴函数f(x)=x2+

c

x2

在[

4	c

，+∞)上是增函数；
当0＜x1＜x2≤

4	c

，f(x2)＜f(x1)，f（x）在（0，

4	c

]为减函数，
设x1＜x2≤-

4	c

，，则-x1＞-x2≥

4	c

，因f(x)=x2+

c

x2

是偶函数，
∴f（x₁）-f（x₂）=f（-x₁）-f（-x₂）＞0，
∴函数f(x)=x2+

c

x2

在(-∞，-

4	c

]上是减函数，
同理可证，函数f(x)=x2+

c

x2

在[-

4	c

，0)上是增函数．
（3）可以推广为研究函数y=xn+

a

xn

(常数a＞0，n是正整数)的单调性．
当n是奇数时，函数y=xn+

a

xn

在[

2n	a

，+∞)和(-∞，-

2n	a

]上是增函数，
在(0，

2n	a

]和[-

2n	a

，0)上是减函数；
当n是偶数时，函数y=xn+

a

xn

在[

2n	a

，+∞)和[-

2n	a

，0)上是增函数，
在(0，

2n	a

]和[-∞，-

2n	a

)上是减函数；

点评：本题主要考查均值定理求函数的最小值，定义法证明函数的单调性，奇偶性，均值定理要考虑成立的条件，定义证明奇偶性时，要先判断定义域是否关于原点对称，证明函数的单调性时，要把f（x₂）与f（x₁）的差分解成几个因式的乘积的形式．