题目内容

我们规定：对于任意实数A，若存在数列{a_n}和实数x（x≠0），使得A=a₁+a₂x+a₃x²+…+a_nx^n-1，则称数A可以表示成x进制形式，简记为： $数学公式$ ．如： $数学公式$ ，则表示A是一个2进制形式的数，且A=-1+3×2+（-2）×2²+1×2³=5．
（1）已知m=（1-2x）（1+3x²）（其中x≠0）），试将m表示成x进制的简记形式．
（2）若数列{a_n}满足a₁=2， $数学公式$ ， $数学公式$ （n∈N^*）．求证： $数学公式$ ．
（3）若常数t满足t≠0且t＞-1， $数学公式$ ，求 $数学公式$ ．

解：（1）m=（1-2x）（1+3x²）=1-2x+3x²-6x³（2分）
则 $\text{[math]}$ （4分）
（2） $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ ∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ =a_n（n∈N*），知{a_n}是周期为3的数列（6分）
则 $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （10分）
（3） $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （14分）
所以 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ （18分）
分析：（1）由m=（1-2x）（1+3x²）=1-2x+3x²-6x³，能将将m表示成x进制的简记形式．
（2） $\text{[math]}$ ，由 $\text{[math]}$ ，知 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ =a_n（n∈N*），由此能够证明 $\text{[math]}$ ．
（3） $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，由此能够求出 $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查数列的递推公式，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设的隐含条件，合理地进行等价转化．

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x\～(a1)(a2)(a3)…(an-1)(an)

2\～(-1)(3)(-2)(1)

，则表示A是一个2进制形式的数，且A=-1+3×2+（-2）×2²+1×2³=5．
（1）已知m=（1-2x）（1+3x²）（其中x≠0），试将m表示成x进制的简记形式．
（2）若数列{a_n}满足a₁=2，ak+1=

，k∈N*，bn=

2\～(a1)(a2)(a3)…(a3n-2)(a3n-1)(a3n)

（n∈N^*），是否存在实常数p和q，对于任意的n∈N*，b_n=p•8ⁿ+q总成立？若存在，求出p和q；若不存在，说明理由．
（3）若常数t满足t≠0且t＞-1，dn=

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．如：，则表示A是一个2进制形式的数，且A＝－1＋3×2＋(－2)×2²＋1×2³＝5．

(1)已知m＝(1－2x)(1＋3x²)(其中x≠0)，试将m表示成x进制的简记形式．

(2)若数列{a_n}满足a₁＝2，，

，是否存在实常数p和q，对于任意的n∈N^*，b_n＝p·8ⁿ＋q总成立？若存在，求出p和q；若不存在，说明理由．

(3)若常数t满足t≠0且t＞－1，，求．

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（1）已知m=（1-2x）（1+3x²）（其中x≠0），试将m表示成x进制的简记形式．
（2）若数列{a_n}满足a₁=2， $数学公式$ ， $数学公式$ （n∈N^），是否存在实常数p和q，对于任意的n∈N，b_n=p•8ⁿ+q总成立？若存在，求出p和q；若不存在，说明理由．
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x\～(a1)(a2)(a3)…(an-1)(an)

2\～(-1)(3)(-2)(1)

，则表示A是一个2进制形式的数，且A=-1+3×2+（-2）×2²+1×2³=5．
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