Question

我们规定：对于任意实数A，若存在数列{a_n}和实数x（x≠0），使得A=a₁+a₂x+a₃x²+…+a_nx^n-1，则称数A可以表示成x进制形式，简记为：．如：，则表示A是一个2进制形式的数，且A=-1+3×2+（-2）×2²+1×2³=5．
（1）已知m=（1-2x）（1+3x²）（其中x≠0），试将m表示成x进制的简记形式．
（2）若数列{a_n}满足a₁=2，，（n∈N^*），是否存在实常数p和q，对于任意的n∈N*，b_n=p•8ⁿ+q总成立？若存在，求出p和q；若不存在，说明理由．
（3）若常数t满足t≠0且t＞-1，，求．

Answer 1

解：（1）m=（1-2x）（1+3x²）=1-2x+3x²-6x³
则
（2）
∵∴
∴=a_n（n∈N*），知{a_n}是周期为3的数列     
假设存在实常数p和q，对于任意的n∈N*，b_n=p•8ⁿ+q总成立，则：
===
∴．
即存在实常数，对于任意的n∈N*，总成立    
（3）=
∴，即
分析：（1）先将m=（1-2x）（1+3x²）展开，再根据定义，将m表示成x进制的简记形式．
（2）由题意，知{a_n}是周期为3的数列．假设存在实常数p和q，对于任意的n∈N*，b_n=p•8ⁿ+q总成立，则由定义可得．
（3）先求=，再求极限．
点评：本题以新定义为载体，考查数列及极限，关键是理解新定义，合理转化，需要计算细心．