Question

设a为实数，函数f（x）=x³-x²-x+a．
（Ⅰ）求f（x）的极值；
（Ⅱ）当a在什么范围内取值时，曲线y=f（x）与x轴仅有一个交点．

Answer 1

【答案】分析：（1）函数连续可导，只需讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值点，求出极值．
（2）曲线f（x）与x轴仅有一个交点，可转化成f（x）_极大值＜0或f（x）_极小值＞0即可．
解答：解：（1）令f'（x）=3x²-2x-1=0得：．
又∵当x∈（-∞，）时，f'（x）＞0；
当x∈（，1）时，f'（x）＜0；
当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0；
∴与x₂=（1分）别为f（x）的极大值与极小值点．
∴f（x）_极大值=；f（x）_极小值=a-1
（2）∵f（x）在（-∞，）上单调递增，
∴当x→-∞时，f（x）→-∞；
又f（x）在（1，+∞）单调递增，当x→+∞时，f（x）→+∞
∴当f（x）_极大值＜0或f（x）_极小值＞0时，曲线f（x）与x轴仅有一个交点．
即或a-1＞0，
∴a∈（-∞，）∪（1，+∞）
点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及函数的单调性，属于中档题．