Question

已知椭圆

x=2cosθ y=sinθ

（θ为参数）
（1）求该椭圆的焦点坐标和离心率；
（2）已知点P是椭圆上任意一点，求点P与点M（0，2）的距离|PM|的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用同角三角函数的关系消去参数θ得到椭圆的直角坐标方程，再根据焦点和离心率的定义直接可求得．
（2）设点P的坐标，代入（1）中所得椭圆方程，利用M（0，2）及两点间的距离公式求|PM|的表达式，结合y的范围即可求出|PM|的最大值．

解答：解：（1）由

x=2cosθ y=sinθ

得

x 2 =cosθ y=sinθ

∴

x2

4

+y2=1---------------------------------------------------------------------------（2分）
∴a²=4，b²=1
∴c²=a²-b²=3
∴焦点坐标为( 

3

 ， 0 )，( -

3

 ， 0 )-------------------------------------（4分）
离心率e=

c

a

=

3

2

------------------------------------------------------------------（6分）
（2）设点P的坐标为P（x，y），则

x2

4

+y2=1，即：x²=4-4y²------------------------------------------------（8分）
∴|PM|=

x2+(y-2)2

=

-3y2-4y+8

=

-3(y+ 2 3 )2+ 28 3

------------------------------------------------（12分）
∵y∈[-1，1]
∴当y=-

2

3

时，|PM|≥

28 3

=

2 21

3

∴|PM|的最大值是

2 21

3

----------------------------------------------------（14分）

点评：本题主要考查了椭圆的参数方程，以及椭圆的简单性质，属于基础题．