Question

（2013•唐山二模）选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线l：

x=m+tcosα y=tsinα

（t为参数）经过椭圆C：

x=2cosφ y= 3 sinφ

（φ为参数）的左焦点F．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，求|FA|•|FB|的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）首先可以分析到题目中的直线方程是参数方程的形式，需要化简为一般方程，第I问即可求得．
（Ⅱ）直线与曲线交与交于A，B两点，可以把直线与曲线联立方程，用根与系数关系即可得到求解．

解答：解：（Ⅰ）将椭圆C的参数方程化为普通方程，得

x2

4

+

y2

3

=1．
a=2，b=

3

，c=1，则点F坐标为（-1，0）．
l是经过点（m，0）的直线，故m=-1．…（4分）
（Ⅱ）将l的参数方程代入椭圆C的普通方程，并整理，得
（3cos²α+4sin²α）t²-6tcosα-9=0．
设点A，B在直线参数方程中对应的参数分别为t₁，t₂，则
|FA|•|FB|=|t₁t₂|=

9

3cos2α+4sin2α

=

9

3+sin2α

．
当sinα=0时，|FA|•|FB|取最大值3；
当sinα=±1时，|FA|•|FB|取最小值

9

4

．…（10分）

点评：此题主要考查直线参数方程化一般方程，及直线与曲线相交的问题，在此类问题中一般可用联立方程式后用韦达定理求解即可，属于综合性试题有一定的难度．