Question

（08年潍坊市质检理）  （12分）  已知各项均为正数的等比数列{a_n}，公比q>1，且满足a₂a₄=64，a₃+2是a₂，a₄的等差中项.

   （1）求数列{a_n}的通项公式；

   （2）设，试比较A_n与B_n的大小，并证明你的结论.

Answer 1

解析：（1）………………2分

    的等差中项，

   

    解得q=2或（舍去），………………………………………………4分

    ………………5分

   （2）由（1）得，

    当n=1时，A₁=2，B₁=（1+1）²=4，A₁<B₁；

    当n=2时，A₂=6，B₂=（2+1）²=9，A₂<B₂；

    当n=3时，A₃=14，B₃=（3+1）²=16，A₃<B₃；

    当n=4时，A₄=30，B₄=（4+1）²=25，A₄>B₄；

    由上可猜想，当1≤n≤3时，A_n<B_n；当n≥4时，A_n>B_n.……………………8分

    下面用数学归纳法给出证明：

    ①当n=4时，已验证不等式成立.

    ②假设n=k（k≥4）时，A_k>B_k.成立，即,

   

    即当n=k+1时不等式也成立，

    由①②知，当

    综上，当时，A_n<B_n；当