Question

已知曲线f（x）=

ax

x2+2

在x=1处的切线斜率为

1

9

，且函数f（x）在区间（m，m+1）上为增函数，则实数m的取值范围是

-

2

≤m≤

2

-1

．

Answer 1

分析：求导函数，利用曲线在x=1处的切线斜率为

1

9

，求出a的值，进而可得函数的递增区间，结合函数f（x）在区间（m，m+1）上为增函数，即可求实数m的取值范围．

解答：解：求导函数可得f′（x）=

-ax2+2

(x2+2)2

∵曲线f（x）=

ax

x2+2

在x=1处的切线斜率为

1

9

，
∴

-a+2

(12+2)2

=

1

9

，∴a=1
∴f′（x）=

-x2+2

(x2+2)2

由f′（x）＞0可得(-

2

，

2

)
∵函数f（x）在区间（m，m+1）上为增函数，
∴

m≥- 2 m+1≤ 2

∴-

2

≤m≤

2

-1
∴实数m的取值范围是-

2

≤m≤

2

-1
故答案为：-

2

≤m≤

2

-1

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，属于中档题．