Question

已知曲线f（x）=xcosx+1在点（

π

2

，1）处的切线与直线ax-y+1=0垂直，则实数a=

2

π

．

Answer 1

分析：求出原函数的导函数，得到曲线f（x）=xcosx+1在点（

π

2

，1）处的切线的斜率，由斜率之积等于-1求a的值．

解答：解：由f（x）=xcosx+1在点（

π

2

，1），得f′（x）=cosx-xsinx．
所以f′(

π

2

)=cos

π

2

-

π

2

sin

π

2

=-

π

2

．
因为曲线f（x）=xcosx+1在点（

π

2

，1）处的切线与直线ax-y+1=0垂直，
则-

π

2

a=-1，a=

2

π

．
故答案为

2

π

．

点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查了两直线垂直时斜率的关系，关键是区分在该点处还是过该点，是中档题也是易错题．