Question

已知曲线f（x）=

1

3

x³-

a

2

x²+bx+c（a≥0）在x=0处的切线方程y=1．
（1）求实数b，c的值；
（2）若过点（0，2）可作曲线y=f（x）的三条不同的切线，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用曲线f（x）=

1

3

x³-

a

2

x²+bx+c（a≥0）在x=0处的切线方程y=1，列出方程解出a、b、c，从而确定解析式；
（2）构建函数，利用导数求出函数的极大值和极小值，数形结合解决．

解答：解：（1）求导函数可得f′（x）=x²-ax+b，
∵曲线f（x）=

1

3

x³-

a

2

x²+bx+c（a≥0）在x=0处的切线方程y=1，
∴f′（0）=b=0，f（0）=c=1
∴b=0，c=1；
（2）由题意f′（x）=x2-ax．由于点（t，f（t））处的切线方程为y-f（t）=f'（t）（x-t），而点（0，2）在切线上，所以2-f（t）=f'（t）（-t），所以

2

3

t3-

1

2

at2+1=0
设g（t）=

2

3

t3-

1

2

at2+1，则
过点（0，2）可作y=f（x）的三条切线，等价于方程2-f（t）=f'（t）（0-t）有三个相异的实根，即等价于方程

2

3

t3-

1

2

at2+1=0有三个相异的实根由于a＞0，故有

由g（t）的单调性知：要使g（t）=0有三个相异的实根，则g（

a

2

）=-

a3

24

+1＜0
∴a＞2

3	3

．

点评：本题考查导数的综合运用以及数形结合的运用能力，对学生有一定的能力要求，有一定的难度