Question

已知函数．
（1）求证：y=f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（2）若函数y=f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]（m≠n），求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）（0，+∞）时，＞0，y=f（x）在（0，+∞）上是增函数．由此能够证明y=f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（2）函数的定义域：x＞0或x＜0．当x＞0时，f（x）=a-单调递增；当x＜0时，f（x）=a+单调递减．当x＞0时，f（m）=m且f（n）=n且m＜n，即m=a-，且n=a-，且m＜n，这个式子等价于方程二元一次方程x²-ax+1=0有两个正的不等实根，由此能求出a的取值范围．
解答：（1）证明：∵（0，+∞）时，=a-，
∴＞0，
∴y=f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（2）解：函数的定义域：x＞0或x＜0．
当x＞0时，f（x）=a-单调递增；当x＜0时，f（x）=a+单调递减．
当x＞0时，f（m）=m且f（n）=n且m＜n，即m=a-，且n=a-，且m＜n，
这个式子等价于方程
x=a-有两个不等实根，即二元一次方程x²-ax+1=0有两个正的不等实根，
当x＜0时，f（m）=n且f（n）=m，即a+=n，且a+=m，且m＜n＜0，
a=n-=m-．
根据以上情况，有：
①对称轴，判别式△=a²-4＞0，且x=0时等式左边=1＞0．解得a＞2．
②a²=nm+-2，
a-a=（n-m）-（）=（n-m）-=（n-m）（1-）=0，
因为n-m≠0，所以1-=0，即mn=1，所以a²=1+1-2=0
综上所述，a的取值范围是{a|a＞2或a=0}．
点评：本题考查函数的单调性的证明，考查实数的取值范围的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意导数性质的灵活运用，合理地进行等价转化．