题目内容
如图，在四棱锥O-ABCD中，OA⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，OA=2，M、N、Q分别为OA、BC、CD的中点．（Ⅰ）证明：DN⊥平面OAQ；
（Ⅱ）求点B到平面DMN的距离．
分析：（Ⅰ）如图建立空间直角坐标，由
•
=0可得
⊥
，即AQ⊥DN，又知OA⊥DN，可得DN⊥平面OAQ．
（Ⅱ） 设平面DMN的法向量为
=(x，y，z)，由
可得
的坐标，利用点B到平面DMN的距离d =
，求得结果．
| AQ |
| DN |
| AQ |
| DN |
（Ⅱ） 设平面DMN的法向量为
| n |
|
| n |
|
| ||||
|
|
解答：
解：（Ⅰ）由题意，可知AO，AB，AD两两垂直，于是可如图建立空间直角坐标系，从而可得以下各点的坐标：A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，2，0），O（0，0，2），M（0，0，1），N（2，1，0），Q（1，2，0）
=(1，2，0)，
=(2，-1，0)，
∵
•
=0．∴
⊥
．即AQ⊥DN．
又知OA⊥DN，∴DN⊥平面OAQ．
（Ⅱ）设平面DMN的法向量为
=(x，y，z)，
由
=(0，-2，1)，
=(2，-1，0)．得
即
，
令x=1，得平面DMN的法向量
=(1，2，4)，
∴点B到平面DMN的距离d=
=
=
．
解：（Ⅰ）由题意，可知AO，AB，AD两两垂直，于是可如图建立空间直角坐标系，从而可得以下各点的坐标：A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，2，0），O（0，0，2），M（0，0，1），N（2，1，0），Q（1，2，0）| AQ |
| DN |
∵
| AQ |
| DN |
| AQ |
| DN |
又知OA⊥DN，∴DN⊥平面OAQ．
（Ⅱ）设平面DMN的法向量为
| n |
由
| DM |
| DN |
|
|
令x=1，得平面DMN的法向量
| n |
∴点B到平面DMN的距离d=
|
| ||||
|
|
| 2 | ||
|
2
| ||
| 21 |
点评：本题考查两个向量垂直的条件，线面垂直的判定，用向量法求点到面的距离，体现了数形结合的数学思想，求平面DMN的法向量的坐标是解题的关键．
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如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，∠ABC=
如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，
如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，
，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点，N为BC的中点．