Question

如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，∠ABC=

π

4

，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点，N为BC的中点
（1）求三棱锥B-OCD的体积；
（2）求异面直线AB与MD所成角的大小；
注：若直线a⊥平面α，则直线a与平面α内的所有直线都垂直．

Answer 1

分析：（1）由题意判断OA为三棱锥O-BCD的高，利用三棱锥的换底性，计算三棱锥O-BCD的体积；
（2）连接MC，可证∠CDM为异面直线AB与MD所成的角，在△CDM中，分别求出三边长，利用余弦定理计算角的余弦值，进而求得角的大小．

解答：解：（1）∵OA⊥底面ABCD，∴OA为三棱锥O-BCD的高，OA=2，
在△BCD中，∠BCD=

3π

4

，
∴S_△BCD=

1

2

×1×1×

2

2

=

2

4

，
∴V_B-OCD=V_O-BCD=

1

3

×

2

4

×2=

2

6

；
（2）连接MC，
∵AB∥CD，∴∠CDM为异面直线AB与MD所成的角，
∵∠ABC=

π

4

，∴AC=

1+1-2×1×1× 2 2

2- 2

，
∴CM²=1+2-

2

=3-

2

；DM=

2

，CD=1，
∴cos∠CDM=

1+2-3+ 2

2×1× 2

=

1

2

，
∴∠CDM=

π

3

．
故异面直线AB与MD所成的角为

π

3

．

点评：本题考查了利用三棱锥的换底性求三棱锥的体积，考查了异面直线所成角的定义及求法，考查了学生的空间想象能力与运算能力，属于中档题．