Question

3．已知f（x）=lg（ax²-2x+1）．
（1）若f（x）的定义域为R，求a的取值范围；
（2）如f（x）的值域为R，求a的取值范围；
（3）若f（x）在x∈[2，3]时有意义，且f（x）的最大值与最小值的差等于1，求a的值．

Answer 1

分析 （1）转化为ax²-2x+1＞0恒成立，利用二次函数性质求解，
（2）理解函数的值域为R，则ax²-2x+1能取遍所有的正数，根二次函数性质得出a＞0且△=1-4a≥0．
（3）确定a＞$\frac{3}{4}$，利用f（2）=lg（4a-3），f（3）=lg（9a-5），f（$\frac{1}{a}$）=lg（1-$\frac{1}{a}$），f（x）的最大值与最小值的差等于1．即可求a的值．

解答 解：（1）∵函数的定义域为R，
∴ax²-2x+1＞0恒成立．
当a=0时，显然不成立．
当a≠0时，应有a＞0且△=4-4a＜0，
解得 a＞1．
故a的取值范围为：a＞1，
（2）若函数的值域为R，则ax²-2x+1能取遍所有的正数，图象不能在x轴上方
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{4-4a≥0}\end{array}\right.$或a=0
解得：0≤a≤1，
故a的取值范围为[0，1]；
（3）在x∈[2，3]时，ax²-2x+1＞0成立，∴a＞-（$\frac{1}{x}$-1）²+1成立，∴a＞$\frac{3}{4}$，
∵f（2）=lg（4a-3），f（3）=lg（9a-5），f（$\frac{1}{a}$）=lg（1-$\frac{1}{a}$），f（x）的最大值与最小值的差等于1．
∴|f（2）-f（3）|=1或|f（2）-f（$\frac{1}{a}$）|=1或|f（3）-f（$\frac{1}{a}$）|=1，
∴a=$\frac{\sqrt{65}-5}{4}$．

点评 本题考查了对数函数的性质，二次函数的性质，不等式的运用，属于综合题目，关键转化为不等式，理解好二次函数的性质．