Question

已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n=bⁿ+r（b＞0且b≠1，b，r均为常数）
（1）求r的值；      
（2）当b=2时，记bn=

n+1

4an

（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项的和T_n．

Answer 1

（1）因为Sn=bn+r，当n=1时，a₁=S₁=b+r，（1分）
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=bⁿ+r-（b^n-1+r）
=bⁿ-b^n-1
=（b-1）•b^n-1，（3分）
又∵{a_n}为等比数列，
∴a1=(b-1)•b0=b-1=b+r，
∴r=-1．（4分）
（2）证明：由（1）得等比数列{a_n}的首项为b-1，公比为b，
∴a_n=（b-1）•b^n-1，（5分）
当b=2时，an=(b-1)•bn-1=2^n-1，
b_n=

n+1

4an

=

n+1

4×2n-1

=

n+1

2n+1

，（6分）
设T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，
则T_n=

2

22

+

3

23

+

4

24

+…+

n+1

2n+1

，

1

2

Tn=

2

23

+

3

24

+

4

25

+…+

n

2n+1

+

n+1

2n+2

，（7分）
两式相减，得

1

2

Tn=

2

22

+

1

23

+

1

24

+

1

25

+…+

1

2n+1

-

n+1

2n+2

=

1

2

+

1 23 ×(1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

n+1

2n+2

=

3

4

-

1

2n+1

-

n+1

2n+2

，（9分）
所以Tn=

3

2

-

1

2n

-

n+1

2n+1

=

3

2

-

n+3

2n+1

．（10分）