Question

【题目】如图，在多面体中，底面是菱形，，，且.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若平面平面，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）取的中点，连接，，易得，接着通过证明来得到平面，进而可得结论；（Ⅱ）通过面面垂直可得平面，进而可建立如图所示的坐标系，求出平面的法向量，结合平面的一个法向量为，进而可求得最后结果.

（Ⅰ）取的中点，连接，.∵，∴.

∵底面是菱形，，∴，∴，∵，∴平面.∵平面，∴.

（Ⅱ）∵，平面平面，平面平面，∴平面.

∴可以为原点，，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，，.

∴，，，∴，

∴，即，∴.

设平面的一个法向量为，则

令，则.易知平面的一个法向量为.

设平面与平面所成的锐二面角为，∴.

∴平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.