Question

 

如图，椭圆C: 的焦点为F₁（0，c）、F₂（0，一c）（c>0），抛物线的焦点与F₁重合，过F₂的直线l与抛物线P相切，切点在第一象限，且与椭圆C相交于A、B两点，且

   （I）求证：切线l的斜率为定值；

   （Ⅱ）若抛物线P与直线l及y轴围成的图形面积为，求抛物线P的方程；

   （III）当时，求椭圆离心率e的取值范围。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（I）依题意抛物线

设直线l与抛物线P的切点为，又切点在第一象限，

则

所以切线l的斜率为定值。  ………………4分

   （文）解：设直线的斜率，则直线l的方程为：

由

令为定值。

   （II）由（I）可得：

以抛物线P的方程为：  ………………8分

   （III）由，

  由

设

又上单调递增，

   （文）解：（I）同理（I）

   （II）抛物线P与直线l切于点E，由（1）可得，

又△OEF₂面积为1，

所以

所以抛物线P的方程为：  ………………8分

又

即  ………………10分

设

所以所求椭圆方程为  ………………13分