题目内容

设动点P在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的对角线BD₁上，记 $数学公式$ ．当∠APC为钝角时，则λ的取值范围是________．

（ $\text{[math]}$ ，1）
分析：建立空间直角坐标系，利用∠APC不是平角，可得∠APC为钝角等价于cos∠APC＜0，即 $\text{[math]}$ ，从而可求λ的取值范围．
解答：由题设，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，

则有A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D（0，0，1）
∴ $\text{[math]}$ =（1，1，-1），∴ $\text{[math]}$ =（λ，λ，-λ），
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =（-λ，-λ，λ）+（1，0，-1）=（1-λ，-λ，λ-1）
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =（-λ，-λ，λ）+（0，1，-1）=（-λ，1-λ，λ-1）
显然∠APC不是平角，所以∠APC为钝角等价于cos∠APC＜0
∴ $\text{[math]}$
∴（1-λ）（-λ）+（-λ）（1-λ）+（λ-1）²=（λ-1（3λ-1）＜0，得 $\text{[math]}$ ＜λ＜1
因此，λ的取值范围是（ $\text{[math]}$ ，1）
故答案为：（ $\text{[math]}$ ，1）
点评：本题考查了用空间向量求直线间的夹角，一元二次不等式的解法，属于中档题．